本书是普通高等教育“十一五”国家级规划
教材，是以教育部(原国家教委)1995年颁布
的高等工科院校本科高等
数学课程教学基本要求为纲，广泛吸取国内外知名大学的教学经验
而编写的工科数学
分析课程教材.本书在第1版的
基础上加强了分析与代数、几何的相互渗
透，适当增加了
现代数学的观点与方法，提高理论知识平台，并调整了部分内容的顺序.
《工科数学分析
教程》上册共9章：实数，数列的极限，函数的极限与连续性，导数及其应
用，多元函数微分学，不定积分，定积分，广义积分，定积分的应用.下册共8章：数项级
数，函数项级数，常微分方程，重积分，曲线积分与曲面积分、场论，多元函数的泰勒公式
，傅里叶级数，含参变量的积分.每章都配有大量的例题与典型
计算题，便于自学.作为现
代数学知识的窗口，本教材以附录形式介绍了“在数学分析教程中的微分流形”内容.
本书可作为工科大学本科生的数学课教材，也可供准备报考工科硕士研究生的人员与工程技
术人员参考.
序
第2版前言
第1版前言
记号与逻辑符号
第10章数项级数1
101收敛级数的定义与性质1
102非负项级数9
103绝对收敛与条件收敛的
级数18
104综合解法举例23
习题1025
第11章函数项级数27
111函数序列与函数项级数
的一致收敛性
27
112一致收敛的函数项级数的
性质38
113幂级数43
114泰勒级数52
115幂级数在近似计算中的
应用61
116综合解法举例64
习题1167
第12章常微分方程68
121一般概念例68
122一阶微分方程70
123可分离变量方程73
124某些可化为分离变量方程
的方程75
125一阶线性方程80
126某些特殊类型的高阶方程87
127例题选解91
128线性微分方程迭加原理95
129一阶常系数线性方程96
1210常系数齐次线性微分
方程99
1211二阶常系数齐次线性微分
方程104
1212右端为拟多项式的线性
方程108
1213二阶常系数非齐次线性
微分方程109
1214常系数线性方程例题
选解113
1215变系数高阶线性方程118
1216例题选解121
1217列微分方程解应用题123
1218常微分方程组126
1219常系数线性方程组
单根的情形129
1220常系数线性方程组
重根的情形132
1221存在与唯一性定理137
习题12141
第13章重积分142
131在Rn空间中的若当测度142
132黎曼重积分的定义与性质
重积分中的变量代换公式146
133二重积分及其计算150
134二重积分例题选解158
135三重积分169
136三重积分例题选解177
137重积分的应用180
习题13184
第14章曲线积分与曲面
积分场论186
141第一型曲线积分186
142第二型曲线积分190
143曲线积分例题选解195
144格林公式曲线积分与路径的
无关性
205
145格林公式及其应用例题
选解全微分方程213
146第一型曲面积分221
147第二型曲面积分230
148高斯公式235
149斯托克斯公式241
1410向量场场的向量线243
1411向量场的通量与散度248
1412向量场的环量与旋度251
1413哈密顿算子及其应用252
1414有势场256
1415管形场264
1416向量分析在曲线坐标系中
的基本运算
268
1417场论例题选解272
习题14276
第15章多元函数的泰勒公式及
应用278
151多元函数的泰勒公式278
152多元函数的极值288
153条件极值295
习题15308
第16章傅里叶级数309
161正交函数系关于正交系
的傅里叶级数
309
162黎曼引理312
163傅里叶三角级数的部分
和公式313
164傅里叶级数在一点处的
收敛性315
165正弦级数与余弦级数324
166有限区间上的函数的
傅里叶展开327
167傅里叶级数的逐项微分法与
逐项积分法一致收敛性
331
168傅里叶级数的复数形式334
169在均方意义下的傅里叶级数
的收敛性336
习题16341
第17章含参变量的积分343
171含参变量的普通积分343
172含参变量的广义积分
及其一致收敛性351
173欧拉积分353
174傅里叶积分与傅里叶变换361
习题17374
附录376
附录A在数学分析教程中的微分
流形376
附录B空间解析几何图形与典型
计算
397
部分典型计算题答案与提示467
参考文献498
工科数学分析教程
本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，这次修订在基本保持原教材(第1版)风
貌的基础上补充了部分内容，并调整了某些内容的顺序．
编者认为，当今的时代是科学、
技术、
经济与
管理数学化的时代，这就确定了数学在高等教
育中的地位．现代科学工作者和工程师不仅应当知道数学原理，而且应当掌握
最新的数学研
究
方法，并把它们应用到自己的实践中去，特别是电子计算机技术的飞速发展，使得某些被认
为是最纯粹的数学理论在工程实际中也得到了应用．数学的广泛应用是科技进步与发展的条
件，所以编者编写了这本在传统的数学分析的内容框架下增加了现代数学观点与内容的教材
，提高了理论知识平台，以适应培养高素质、创新型人才的需要．
修订后的教材增加了下述内容：
1在第1章实数中加强了实数理论的内容，引入了确定实数概念的公理化定义．
2在第4章一元函数微分学中，增加了①高阶微分；②向量函数的拉格朗日中值定理与有限
泰勒公式的证明；③空间曲线理论初步(含简单曲线、光滑曲线、曲线的切线、曲线的弧长
、平面的曲线与曲线的主法线，曲线的曲率，均用向量函数表示)．
3在第5章多元函数微分学中，①增加了度量空间Rn中的直线、射线与
线段；②给出了对应m个方程的隐函数存在定理．
4在第13章重积分中增加了Rn中的网格理论．
5在第14章曲线积分与曲面积分、场论中，增加了①曲面理论初步(包括简单曲面、曲面上
的曲线坐标、曲面的切平面与法线、分片光滑曲面、可定向的曲面)；②把高斯公式、斯托
克斯公式与场论内容综合编写．
6在第16章傅里叶级数中增加了①傅里叶级数的逐项微分法与逐项积分法；②傅里叶级数
的一致收敛性；③傅里叶级数的求和法；④傅里叶级数在均方意义下的收敛性(包括酉空间
、赋范空间、收敛性、完备空间、盖里别尔托夫空间、酉空间的完备化、傅里叶系数的极小
性质、贝塞尔不等式．在酉空间元素组(基)｛ei｝的完备性，三角函数系在
L2(a,b)上的完备性，在盖里别尔托夫空间中的正交系的完备性)．
7在第17章含参变量的积分中增加了①含参变量的普通积分；②含参变量的广义积分及其
一致收敛性；③欧拉积分；④傅里叶积分；⑤傅里叶变换．
8在最后附录A中，介绍了在数学分析教程中的微分流形理论：①代数流形；②积分流
形；③微分流形的积分，空间Rn的定向；④斯托克斯公式与高斯公式的
微分流形形式．
从内容体系上，除了内容顺序的变动并补充上述内容外，本次修订还突出以下几个特点：
1加强线性代数与解析几何、微积分学内容的相互渗透、相互交叉，并把这些内容与实用
的工程数学方法看做一个整体，对其内容体系进行优化组合．
2采用归纳法，由浅入深地叙述教材内容．譬如，极限的概念是按下列顺序叙述的：数列
极限，一元函数极限，在欧氏空间中关于集合的极限，积分和极限等；对于泰勒公式，首先
研究区间上实函数，然后研究Rn空间中的映射的泰勒公式；对于柯西极
限存在准则，首先研究了各类柯西极限准则，最后研究了在Rn空间中映
射的极限存在的柯西准则；叙述傅里叶级数是从古典的三角函数开始，最后叙述在盖里别尔
托夫空间中关于正交组的傅里叶级数等．
3证明的定理并不总是具有普遍意义，由于教学时数有限，同时考虑要更好阐明所研究问
题的实质和证明的思路，只考虑足够光滑的函数．
除上述特点外，本次修订还保留了第1版注重教学法，知识由浅入深、循序渐进、便于自学
，以及理论联系实际，加强数学建模训练等特点．
本书是编者在哈尔滨
工业大学与乌克兰人民科技大学多年讲授工科数学分析课程与习题课经
验的基础上吸收国内外知名大学的先进教学经验编写的，为了巩固所叙述的理论知识，举有
足够数量的例题与典型计算题，帮助读者掌握教程的基本思想与深入研究、解决应用问题的
方法，特别重视对那些学生学习较困难的概念的阐述，在教学中取得了较好的效果．
为了适应现代科技的飞速发展，编者大胆改革传统的数学分析教材，注意渗透、增加现代数
学观点与方法，试图为大学生提供阅读与查阅现代科技文献、进行科研的有力的数学工具
，编者认为这是一项十分困难的工作，希望这套教材的出版能为推动这项工作作出贡献．
这里，对哈尔滨工业大学多年来一直支持这
项教学改革的领导、专家、教授深表谢意．特别要感谢机械工业出版社的领导及同志们为该
书的早日出版所作出的重大贡献．
本书由孙振绮、ОФ包依丘克(乌克兰)任主编，丁效华、金承日、伊晓东任副主编
并参加教材的修订工作．参加本书习题部分修订的还有哈尔滨工业大学(威海)数学系邹巾英
、孙建邵、李福梅、杨毅、范德军、王雪臣、王黎明、曲荣宁、史磊、宁静、李晓
芳、于战
华、吕敬亮等．崔明根、刘铁夫、王克、文松龙四位教授分别审阅了教材的各章内容，提出
了许多宝贵意见．
由于编者水平有限，缺点、疏漏在所难免，恳请读者批评指正!
编者图书在版编目(CIP)数据
工科数学分析教程下册/孙振绮，(乌克兰)ОФ包依丘克主编—2版—北京
：机械工业出版社，20083
普通高等教育“十一五”国家级规划教材高等工科数学系列课程教材
ISBN 9787111122302
Ⅰ工…Ⅱ①孙…②О…Ⅲ数学分析-高等学校-教材
Ⅳ017
中国版本图书馆CIP数据核字(2008)第025605号
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